降水粒子落下シミュレーション

雨・雹・霰・雪と、パラシュートを背負った人を同じ高さから同時に落とし、空気の抵抗で速さがどう変わるかを比べます。

粒の大きさは実物の比率ではありません。

経過0.0 秒

    速度 (m/s) の変わり方

    落ち始めは重力で速くなり、空気の抵抗と釣り合ったところで速さが一定（終端速度）になります。縦の線はアニメーションの経過時間です。

    時刻ごとの数値の表

    コラム

    高さ 1000 m から落ちる雨粒は、どのくらいの速さになるのか

    雨粒は空の高いところから落ちてきます。高さ 1000 m から物を落とせば、地面に着くころにはとても速くなっていそうです。それなのに、雨に当たっても痛くありません。

    答え: 空気が無ければ、地面に着くときには秒速約 140 m（時速約 500 km）になります。空気があると、直径 2 mm の雨粒の速さは秒速約 6.7 m（時速約 24 km）で頭打ちになります。落ち始めてから 5 m ほどで、その 95% の速さに達します。

    空気が無ければ秒速 140 m

    空気の抵抗を考えなければ、落ちる物は 1 秒ごとに秒速 9.81 m ずつ速くなります。高さ h から落とした物が地面に着くときの速さは √(2 × 9.81 × h) です。h = 1000 m なら √19620 ≒ 140 m/s で、3.6 を掛けて時速に直すと約 504 km です。新幹線のいちばん速い列車（時速 320 km）よりも速く、落ちきるまでの時間は √(2 × 1000 ÷ 9.81) ≒ 14.3 秒です。

    重さと空気の抵抗が釣り合う速さ

    実際には、速く動くほど空気に押し返されます。押し返す力（抗力）は、½ × 抗力係数 × 空気の密度 × 断面積 × 速さ² で、速さの 2 乗に比例します。落ちるにつれて抗力が大きくなり、重さと釣り合ったところで、それ以上は速くなりません。この速さを終端速度といいます。

    直径 2 mm の雨粒を球として計算します。半径は 0.001 m なので、体積は 4/3 × π × 0.001³ ≒ 4.19 × 10⁻⁹ m³ です。水の密度 1000 kg/m³ を掛けると質量は約 4.19 mg、9.81 を掛けると重さは約 4.11 × 10⁻⁵ N です。

    断面積は π × 0.001² ≒ 3.14 × 10⁻⁶ m² です。球の抗力係数を 0.47、空気の密度を 1.225 kg/m³ とすると、抗力は ½ × 0.47 × 1.225 × 3.14 × 10⁻⁶ × 速さ² ≒ 9.04 × 10⁻⁷ × 速さ² です。これが重さと等しくなる速さは、速さ² = 4.11 × 10⁻⁵ ÷ 9.04 × 10⁻⁷ ≒ 45.4 から、約 6.7 m/s（時速約 24 km）です。空気が無いときの 140 m/s の約 20 分の 1 です。直径 2 mm の雨粒の終端速度は実測で約 6.5 m/s で、この計算とほぼ合います。

    5 m 落ちれば、ほぼ終端速度

    終端速度を v、経過時間を t とすると、抗力が速さの 2 乗に比例するときの速さは v × tanh(9.81 × t ÷ v) です。tanh(x) は x = 0 で 0、x が大きくなると 1 に近づく関数で、0.95 になるのは x ≒ 1.83 のときです。v = 6.7 m/s なら、t = 1.83 × 6.7 ÷ 9.81 ≒ 1.26 秒で終端速度の 95% に達します。

    そこまでに落ちる距離は (v² ÷ 9.81) × ln(cosh 1.83) ≒ 4.63 × 1.16 ≒ 5.4 m です。雨粒は、1000 m のうち最初の 5 m ほどで速さがほぼ決まり、残りはほとんど同じ速さで落ちます。高さ 1000 m から落ちた雨粒も、2 階の窓の高さから落ちた水滴も、地面に着くときの速さはほとんど変わりません。1000 m を落ちきるのには約 149 秒かかり、空気が無いときの約 10 倍です。

    大きい粒ほど速いが、限りがある

    重さは半径の 3 乗に、断面積は半径の 2 乗に比例します。釣り合いの式を整理すると、終端速度² は半径に比例し、終端速度は半径の平方根に比例します。直径が 4 倍になれば、終端速度は 2 倍です。球として計算すると、直径 1 mm で約 4.8 m/s、4 mm で約 9.5 m/s、8 mm で約 13.5 m/s と、粒が大きいほどいくらでも速くなります。

    実測の終端速度は、直径 0.2 mm で約 0.7 m/s、1 mm で約 4 m/s、2 mm で約 6.5 m/s、4 mm で約 9 m/s です。4 mm より大きくなっても速さはほとんど変わらず、約 9 m/s が最大です。

    直径 2 mm より小さい雨粒は、表面張力でほぼ球の形を保ちます。それより大きくなると、空気に押されて底が平らなまんじゅうのような形になり、抗力が増えます。落ちながら揺れて不安定になり、分かれやすくもなるので、地上で観測される雨粒は大きくても直径 8 mm ほどです。

    小さい粒が計算より遅いのは、遅く動く粒では抗力係数が 0.47 より大きくなるためです。このシミュレーションは雨粒を抗力係数 0.47 の球として計算するので、直径 2 mm 前後では実測に近い値を出しますが、とても小さい粒（直径 0.2 mm で約 2.1 m/s）と 4 mm を超える大きい粒では、実際より速い値を出します。

    雹が痛いのは、粒が大きいから

    気象庁の用語では、積乱雲から降る直径 5 mm 以上の氷の塊を雹（ひょう）、直径 5 mm 未満の氷の粒を霰（あられ）といいます。

    氷の密度は約 917 kg/m³ で、水とあまり変わりません。終端速度は密度と半径の積の平方根に比例するので、質量 5 g の雹（直径約 2.2 cm）は、直径 2 mm の雨粒の √(0.917 × 10.9) ≒ 3.2 倍、約 21 m/s（時速約 77 km）で落ちてきます。ゴルフボールほどの直径約 4 cm（質量 30 g）の雹では、約 29 m/s（時速約 104 km）です。

    当たったときの衝撃は、運動エネルギー ½ × 質量 × 速さ² で比べられます。直径 2 mm の雨粒は ½ × 4.19 × 10⁻⁶ × 6.7² ≒ 0.0001 J、直径 4 cm の雹は ½ × 0.03 × 28.8² ≒ 12 J で、約 13 万倍です。雨が痛くないのは、空気の抵抗で速さが頭打ちになることに加えて、1 粒がとても軽いためです。

    出典