パイプブロック

管の形の部品を、接続口どうしでつないで組み立てます。分かれる形の部品を重ねていくと、幹から枝が分かれていく木のような形を作れます。作ったものはこのWebブラウザの中に自動で保存されます。組み立てはすべてWebブラウザ内で完結し、サーバーには送信されません。

重なるとき 影

ドラッグで回す。右ボタン・Shift＋ドラッグ・2 本指で、ずらす。ホイール・ピンチで拡大・縮小。ダブルタップで、そこを視点の中心に。境の帯を上下に引くと、画面と操作の高さの配分が変わります。

部品を替える

最初から

いまの場面は消え、「もどす」でも戻せません。

状態の保存

範囲

保存した JSON や共有の URL を枠に貼り付けて「枠の内容を読み込む」を押すと、その形に置き換わります。読み込みは「もどす」で戻せます。

URL で共有

組み立てを URL の「#」より後ろに入れます。「#」より後ろはサーバーには送信されず、URL を開いた Webブラウザの中で読み込まれます。

画像で保存

いまの画面の絵を、そのまま PNG の画像で保存します。「眺める」で空の下に置いてから保存することもできます。

コラム

葉や枝は、本当に 137.5° ずつずれて付くのか

植物の葉は 137.5° ずつずれて付く、という説明をよく見かけます。90° でも 120° でもない半端な角なので、本当なのか、絵を描くときの決まりごとではないのか、と疑問に思う人もいるでしょう。茎を真上から見たとき、続けて付いた 2 枚の葉が茎のまわりでなす角を開度といいます。

答え: 実際の植物の性質です。ただし、葉が 1 枚ずつらせん状に付く植物の話で、角は 1 枚ごとにばらつき、その平均が 137.5° に近くなります。137.5° は円を黄金比で分けたときの小さいほうの角（黄金角）で、新しい葉の芽が、すでにある芽からいちばん離れた場所にできる、という決まりから、この角に近づきます。

黄金角を計算する

黄金比 φ は (1 + √5) ÷ 2 ≒ 1.618 です。1 周の 360° を φ で割ると 360 ÷ 1.618 ≒ 222.5° で、残りは 360 − 222.5 = 137.5° です。大きいほうの角と全体の比も、小さいほうの角と大きいほうの角の比も、どちらも φ（222.5 ÷ 137.5 ≒ 1.618）になります。もっと細かく計算すると 137.5078° です。

222.5°137.5°
円を黄金比で分けた 2 つの角。青い扇形が黄金角 137.5° で、残りの 222.5° との比は 1 : 1.618

90°・120°・144° とくらべる

葉を 90° ずつ回して付けると、4 枚あとの葉は 90 × 4 = 360° 回って、最初の葉の真上に来ます。120° ずつなら 3 枚あと、144° ずつなら 5 枚あと（144 × 5 = 720° で 2 周）で真上に重なります。1 周を割り切れる角は、いつか必ず同じ向きに戻ります。

ちょうど 137.5° ずつでは、8 枚あとの葉は 137.5 × 8 = 1100° 回って、3 周（1080°）より 20° 先に来ます。13 枚あとは 137.5 × 13 = 1787.5° で、5 周（1800°）より 12.5° 手前、21 枚あとは 137.5 × 21 = 2887.5° で、8 周（2880°）より 7.5° 先です。真上に近づくことはあっても、ぴったり重なりはしません。近づく枚数の 8・13・21 と、そのときの周の数の 3・5・8 は、どれも 1・1・2・3・5・8・13・21…と前の 2 つを足していくフィボナッチ数です。

植物の葉の付き方は分数で表される

植物学では、開度を「何周する間に何枚付くか」の分数で表します。育った茎を見て、何枚あとの葉がほぼ真上に来るかを数えて決めたものです。2 周する間に 5 枚付いて、6 枚目がほぼ 1 枚目の真上に来れば 2/5 で、開度は 360 × 2/5 = 144° です。イネ科の多くは 1/2（180°）、カヤツリグサ科は 1/3（120°）で、アンズは 2/5、ポプラやナシは 3/8、ヤナギやアーモンドは 5/13 です。

1/2、1/3、2/5、3/8、5/13、8/21 と並べると、分子も分母もフィボナッチ数で、分母は分子の 2 つ先の数になっています（シンパー・ブラウンの法則）。角度に直すと 180°・120°・144°・135°・138.5°・137.1° で、行ったり来たりしながら 137.5° に近づいていきます。

実際の植物ではどうか

137.5° に近いのは、葉が 1 か所に 1 枚ずつ、らせん状に付く植物です。1 か所に 2 枚ずつ向かい合って付く植物（対生）や、イネ科の多くのように左右交互に 180° ずつ付く植物もあり、すべての植物が 137.5° ではありません。らせん状に付く植物でも、角は 1 枚ごとにばらつきます。分数で 2/5 や 3/8 と表される植物で、何枚かあとの葉がほぼ真上に来て見えるのも、そのためです。

137.5° に近いことは、ひまわりの種の並びでも確かめられています。新しいものが 137.5° ずつずれて並ぶと、右回りと左回りの渦巻きの本数が 21・34・55 のようなフィボナッチ数になります。2016 年に、市民参加の調査でひまわり 657 個の渦巻きを数えた研究では、確かなデータの 768 個の本数のうち 565 個（約 74%）がフィボナッチ数で、さらに 67 個がフィボナッチ数に関係する形でした。フィボナッチ数でない花もあり、ぴったりの規則ではなく、そうなりやすい傾向です。

なぜその角になるのか

葉のもとになる芽は、茎の先端の、すでにある芽からいちばん離れた、混み合っていない場所にできます（1868 年にホフマイスターが示した規則）。芽ができる場所には、植物ホルモンのオーキシンが集まっていることが分かっています。

1992 年に、ドゥアディとクデールは、新しい芽が混み合っていない場所にできる仕組みを物理の実験と計算で再現し、葉の付き方と同じ並びが自然に現れることを示しました。並びが周期的にそろうのを避けるうちに、黄金比に行き着きます。黄金比は、分数でいちばん近似しにくい数なので、どれだけ枚数を重ねても、前の葉とそろいにくい角になります。葉が互いの光を遮りにくくなることが、この付き方の利点だと説明されています。

パイプブロックの中の黄金角

このパイプブロックでも、黄金角を 3 か所で使っています。株立ち玉は、5 本の枝の口を 137.5° ずつ回して並べています。針葉の房は、96 本の針を 137.5° ずつ回しながら柄に沿って付けています。おまかせで育てるときは、幹から出す脇枝の向きを、前の脇枝から 137.5° 回した向きに近づけます。どれも、上から見て枝や針がそろって重ならないようにするためです。三又と五又の枝は、120°・72° の等しい間隔で、こちらは向きのそろった形になります。

枝の太さには「レオナルドの規則」がある

レオナルド・ダ・ヴィンチは手稿に、木の枝は、高さのどこで数えても、全部を合わせると幹と同じ太さになる、と書いています。今の言い方では、枝が分かれる前の断面積と、分かれたあとの枝の断面積の合計が等しい、という規則です。幹の直径を d、分かれた枝の直径を d₁、d₂ とすると、d² = d₁² + d₂² です。

直径 20 cm の幹が同じ太さの 2 本に分かれるなら、20² = 2 × d₁² から、d₁ = 20 ÷ √2 ≒ 14.1 cm です。半分の 10 cm ではありません。実際の木を測ると、2 乗の代わりに 1.8 乗から 2.3 乗の間に入る種類が多いと報告されています。2011 年にエロワは、風で枝が受ける力に、どの枝も同じように耐えられる太さにすると、この規則になることを計算で示しました。

このパイプブロックの太い管は半径 0.16、細い管は半径 0.10 です。太い管が細い 2 本に分かれる「Y 字 60°（細い枝）」の断面積をくらべると、分かれる前は 0.16² = 0.0256、分かれたあとの合計は 2 × 0.10² = 0.020 で、約 78% です。レオナルドの規則に合わせるなら、細い管の半径は 0.16 ÷ √2 ≒ 0.113 になります。太い管が太い 2 本に分かれる「Y 字 60°」「Y 字 90°」では、断面積の合計が 2 倍に増えます。実際の木より枝が早く細くなったり、太いまま増えたりするのは、部品の太さを 2 種類に絞ったためです。

出典